Подходит к концу 20-й век. Наступает период подведения итогов и раздачи эпитетов. Повсеместно всерьез и в шутку обсуждаются вопросы типа: кто в уходящем веке был самым великим политиком, самым удачливым бизнесменом, самым знаменитым атлетом, самой красивой кинозвездой. В научной среде такого рода рекордомания не слишком принята, но если - в духе момента - задаться вопросом о "самых" в том или ином смысле математиках 20-го века, то по очень многим номинациям победителем окажется один и тот же человек - Пол Эрдёш.

Вот только несколько иллюстраций. Эрдёш был автором или соавтором 1486 научных работ¹. Я думаю, что для большинства читателей непросто осознать, насколько это много. У математиков нет обычая - весьма распространенного в естественных науках - когда имя руководителя научного подразделения (лаборатории, отдела, института), в котором проводится то или иное исследование, автоматически добавляется в начало списка авторов соответствующей публикации. Поэтому число работ, выполненных даже весьма активным математиком за всю его творческую жизнь, намного меньше, чем число публикаций среднестатического физика или химика, и нечасто превосходит 100. На этом фоне продуктивность Эрдёша выглядит просто фантастически: по данному показателю он превосходит не только всех своих современников, но и всех математиков вообще (включая знаменитого своей научной плодовитостью Эйлера).

Другой неоспоримый рекорд Эрдёша связан с его уникальной способностью к научному сотрудничеству. Математическое творчество в известном смысле располагает к индивидуализму: доказывать вдвоем теорему далеко не так естественно, как собирать вдвоем экспериментальную установку (и, скажем, великий Гаусс, который охотно работал с Вебером над созданием электромагнитного телеграфа, не только не имел соавторов в своих исследованиях по "чистой" математике, но очевидным образом уклонялся от многообещающего сотрудничества с Абелем и Якоби). До сравнительно недавнего времени совместные статьи были в математике скорее исключением, чем правилом, да и сейчас есть немало первоклассных математиков, которые предпочитают творить в одиночестве. Эрдёш был не таков. Он щедро делился с коллегами своими догадками и наблюдениями, и наоборот, легко откликался на новые идеи. Поэтому - а также в силу его феноменальной мобильности, о которой речь пойдет чуть ниже - у него насчитывается² 492 соавтора. Впечатляющее число, не правда ли?!

Но дело не только и не столько в числах, сколь бы удивительными они ни были. Экстраординарен сам Эрдёш как личность, необыкновенна история его жизни, и невероятно оригинальна его математика. Кто-то сказал, перефразируя Вольтера: "Если бы Эрдёша не было, его следовало бы выдумать," - а потом, подумав, добавил: "но в такую выдумку никто бы не поверил." Но Эрдёш был. Вот краткая история его долгой жизни.

Пол Эрдёш родился 26 марта 1913 г. в Будапеште. Его родители были школьными учителями математики, и немудрено, что первое знакомство маленького Пола с числами и фигурами состоялось очень рано³. В 4 года он перемножал в уме четырехзначные числа и развлекал гостей тем, что узнав их день рождения, сообщал, сколько секунд они прожили.

В школьные годы Эрдёш стал читателем и почитателем журнала "KоMaL" - это аббревиатура венгерских слов, означающих "Математический и Физический Журнал для средних школ"⁴. Это помогло ему побеждать в венгерских математических олимпиадах, что, в свою очередь, открыло ему путь в университет⁵. Дружба Эрдёша с журналом "KоMaL" продолжалась всю его жизнь - уже став знаменитым математиком, он регулярно публиковал там интереснейшие статьи, привлекшие к математике не одно поколение венгерских школьников.

В 1934 г. Эрдёш оканчивает университет, защитив диссертацию, посвященную одновременному обобщению двух классических результатов о распределении простых чисел: теоремы Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях и постулата Бертрана⁶. Его имя становится известным среди специалистов в теории чисел, и ведущий английский числовик Морделл приглашает Эрдёша на стажировку. Так начинаются скитания Эрдёша, которые продолжаются затем 60 лет с одним небольшим перерывом. А именно, в 1952 г. он - будучи уже общепризнанной "суперзвездой", лауреатом самой престижной премии Американского математического общества, и прочая, и прочая - первый раз в жизни получает постоянную работу: профессорство в солидном американском университете. Однако вскоре Эрдёша объявляют "нежелательным иностранцем", инкриминируя ему "связи с коммунистическими странами" (под этим понималась его переписка с чудом пережившей войну матерью в Венгрии и с китайским числовиком Хуа), и лишают визы на въезд в США. Само по себе это не угрожало Эрдёшу потерей работы до тех пор, пока он оставался в Америке, но выехав из Штатов, он уже не имел бы права туда возвратиться. В то же время путь на родину был для него намертво перекрыт сталинским "железным занавесом". Обывательское благоразумие диктовало сидеть и, как говорится, не рыпаться, но Эрдёшу оно ни в малейшей мере не было свойственно. "Ни дядя Сэм, ни дядя Джо (т.е. Сталин) не могут определять, когда и куда я должен ездить," - сказал он и отправился на математический конгресс в Амстердам. Такое бескомпромиссное предпочтение свободы благополучию было чрезвычайно характерно для Эрдёша.

С тех пор Эрдёш странствовал уже беспрерывно. У него не было ни семьи, ни определенного места жительства, ни постоянного заработка, ни какого-либо имущества, кроме того, что он возил с собой в ставшем легендарным чемоданчике. Ежегодно он по нескольку раз огибал земной шар, переезжая с конференции на конференцию, выступая на семинарах, и работая, работая, работая. В 50, в 60, в 70, и даже в 80 лет он продолжал колесить по свету и публиковать ежегодно столько статей, сколько "нормальный" математик публикует за всю свою жизнь. Казалось, что время, как бы подчиняясь законам теории относительности, идет для Эрдёша медленней, чем для его "неподвижных" коллег. Но сам он чувствовал, что от неизбежного не убежать и ему. Незадолго до смерти он написал: "Моя мать говорила: "Даже ты, Пол, можешь быть только в одном месте одновременно." Что ж, может быть, я вскоре избавлюсь от этого недостатка. Может быть, когда я уйду, я смогу быть во многих местах одновременно. Может быть, тогда я смогу посотрудничать с Архимедом и Евклидом."

20-го сентября 1996 г. Эрдёш скончался от сердечного приступа в Варшаве, где был на симпозиуме по теории графов. За день до этого он дописал свою последнюю "единоличную" (без соавторов) статью. В кармане у Эрдёша лежал билет в Вильнюс - назавтра он собирался туда, чтобы участвовать в теоретико-числовой конференции.

Похоронен Пол Эрдёш на родине, в Будапеште.

Я бы не решился рекомендовать Эрдёша "юноше, обдумывающему житье," в качестве образца "делать жизнь с кого". Однако нет никакого сомнения, что жизнь Эрдёша при всей ее аскетичности и неупорядоченности была весьма цельной и очень счастливой - ведь Эрдёш всегда поступал так, как считал нужным, и всегда занимался любимым делом. Не был он обделен и общественным признанием: национальные академии 8 стран избрали его своим членом, 15 университетов присвоили Эрдёшу титул почетного доктора, неоднократно ему присуждались разного рода премии, среди которых была и самая "тяжеловесная" (по размеру материального вознаграждения) премия в области математики - премия Вольфа⁷. При этом не надо думать, что Эрдёш был зацикленным исключительно на математике роботом или, как он сам говорил, "машиной по переработке кофе в теоремы". Несмотря на фантастическую интенсивность своего труда, он оставался живым человеком с многогранными интересами, необычайно привлекательным своей отзывчивостью, юмором и легкостью в общении.

Теперь немного о математике Эрдёша. Обычно попытка рассказать неспециалисту о какой-нибудь важной теореме современного математика заканчивается плачевно из-за необходимости долго растолковывать сложные абстрактные определения. Такие труднообъясняемые достижения, конечно, есть и у Эрдёша, но для его творчества, напротив, типичны необычайно простые по формулировкам (но не по доказательствам!) результаты. Вот один из ярких примеров: так называемая теорема Эрдёша о таблицах умножения. Да-да, речь идет о самых обычных таблицах умножения, подобных той, что бывает напечатана на обложке школьной тетрадки в клеточку:

Каждый видел такую таблицу много раз, но доводилось ли вам задаться вопросом, сколько в ней различных чисел? Оказывается, их 43. Давайте представим себе аналогичную таблицу умножения для чисел от 1 до n и обозначим через M(n) количество различных чисел в ней. В таких обозначениях M(10) = 43, M(2) = 3, а, скажем, M(5) = 15. Спрашивается, как ведет себя величина M(n) с ростом n? Поразмыслите немного над этим на первый взгляд простым вопросом прежде, чем начнете читать следующий абзац.

Можно с уверенностью прогнозировать, что читатель догадается, что, поскольку таблица умножения симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний,

Более сильных естественных ограничений на M(n) не видно, и может возникнуть предположение, что отношение M(n) к n² стремится к

Эрдёш, который придумал эту задачу, доказал в 1960 г. (см. [3]), что такое предположение ложно, и более того, указанное отношение с ростом n стремится к нулю. Результат получился неожиданный, очень нетривиальный и связанный с глубинными вероятностными свойствами натуральных чисел⁸. Все это весьма характерно для теоретико-числовых работ Эрдёша.

Вот изящный результат из другой области, также аппелирующий лишь к самым простейшим понятиям. Назовем набор из k множеств A₁,ј,A_k k-лепестковым подсолнухом, если любые два множества из этого набора имеют одно и то же пересечение, т.е. если A_iЗA_j = A_sЗA_t для всех 1 Ј i < j Ј k и 1 Ј s < t Ј k. Спрашивается, при каких условиях в некотором семействе r-элементных множеств можно найти k-лепестковый подсолнух. Удивительный ответ, полученный Эрдёшем в 1961 г. в соавторстве с Радо (см. [5]), состоит в том, что это можно сделать всегда, если данное семейство достаточно велико. Более точно, для любых натуральных k и r найдется такое натуральное N, что любое семейство из не менее чем N r-элементных множеств содержит k-лепестковый подсолнух. Эта теорема Эрдёша-Радо нашла многочисленные приложения не только в комбинаторике конечных множеств, но и в компьютерных науках: именно на ней основываются лучшие известные на сегодня оценки числа "простейших" элементов, необходимых для конструирования устройств, вычисляющих данную функцию⁹. С комьинаторной же тточки зрения задача о подсолнухах является типичной задачей теории Рамсея, различными аспектами которой Эрдёш с успехом занимался всю свою творческую жизнь¹⁰.

"Количественная" сторона теоремы Эрдёша-Радо остается еще малоизученной. До сих пор неизвестно, например, можно ли в простейшем нетривиальном случае трехлепесткового подсолнуха взять в качестве N r-ую степень какой-нибудь константы, другими словами, верно ли, что существует такое число C, что любое семейство из не менее чем C^r r-элементных множеств содержит подсолнух с тремя лепестками. Эрдёш предлагал за ответ на последний вопрос 1000 долларов; он довольно часто прибегал к такой "материальной стимуляции" интереса к придуманным им задачам. Впрочем, для решения задач Эрдёша всегда требовалось столько усилий и времени, что он сам в шутку говорил, что его "призовые деньги" грубо нарушают закон о минимальной оплате труда. Для отважных приведу формулировку наиболее "дорогой" ($3000) из нерешенных проблем Эрдёша:

Пусть A - такое множество натуральных чисел, что сумма величин, обратных элементам A, бесконечна. Верно ли, что A содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии?

Чтобы хоть немного почувствовать сложность этой вопроса, предлагаю в качестве упражнения убедиться, что из положительного ответа на него немедленно вытекает знаменитая теорема Ван-дер-Вардена о том, что при любом разбиении множества натуральных чисел на конечное число классов в одном из классов обязательно есть сколь угодно длинные арифметические прогрессии¹¹. Другим следствием положительного ответа было бы существование сколь угодно длинных арифметических прогрессий, состоящих из простых чисел (то, что сумма величин, обратных простым числам, бесконечна, установил еще Эйлер). В отличие от теоремы Ван-дер-Вардена это следствие пока еще никто не доказал.

Начав приводить примеры теорем и задач Эрдёша, трудно остановиться. Но поговорка "нельзя объять необъятное" здесь уместна более, чем при рассказе о творчестве любого другого математика. А ведь еще ничего не сказано ни о Книге, ни о числе Эрдёша (каждая из этих двух тем может стать сюжетом самостоятельной статьи), ни об эрд„шевском институте, ни об эрд„шевских конференциях! Впрочем любознательный и владеющий английским языком читатель сможет узнать обо всем этом в ИНТЕРНЕТе, который содержит неисчерпаемое море интереснейшей информации об Эрдёше (включая посвященный ему фильм "N is a number"). Я укажу только две главные ссылки, через которые можно выйти на эту информацию. Это - посвященная Эрдёшу страница

и домашняя страница проекта "Число Эрдёша"

И, конечно, я обязан упомянуть две замечательные статьи о жизни и творчестве Эрдёша [4] и [5], под большим воздействием которых была задумана и написана настоящая заметка.

Литература

[1]

М. В. Волков, Н. Н. Силкин, Кого послать на Марс? Квант (1988) N8, 51-57.

[2]

И. О. Коряков, Жемчужина, добытая Ван-дер-Варденом, МИФ (1997/98) N2-3, 4-12.

[3]

П. Эрдёш, Одно асимптотическое неравенство в теории чисел, Вестник Ленинград. ун-та. Математика, механика и астрономия. Вып.13 (1960) 41-49.

[4]

P. Erdцs, M. Kac, The Gaussian law of errors in the theory of additive number theoretic functions, Amer. J. Math., Vol.62 (1940) 738-742.

[5]

P. Erdцs, C. Ko, R. Rado, Intersection theorems for systems of finite sets, Quart. J. Math. Oxford (2), Vol.12 (1961) 313-318.

[6]

P. Erdцs, G. Szekeres, A combinatorial problem in geometry, Compositio Math., Vol.2 (1939) 463-470.

¹ Данные указаны по состоянию на 21 января 1999 г. Почему я обращаю внимание на дату? Дело в том, что начатая после кончины Эрдёша в 1996 г. работа по инвентаризации его гигантского научного наследия еще продолжается. Вполне вероятно, что к концу этого года количество учтенных публикаций Эрдёша перевалит через полторы тысячи.

² По данным на 7 февраля 1999 г.

³ В основном благодаря его матери Анне: отец Эрдёша в самом начале I-й мировой войны попал в русский плен и смог вернуться домой только через 6 лет.

⁴ Очень похоже на наш "МИФ", не так ли? Сходны не только названия - цели журнала "KоMaL" практически идентичны тем задачам, что мы ставим перед "МИФом". Разница только в языке, ну и, конечно, в том, что "KоMaL" выходит уже - сколько бы вы думали? - 106 лет (!), а нашему журналу всего только три года.

⁵ Эрдёш был евреем, а в Венгрии, которой правил в то время ультраконсервативный диктатор Хорти, гражданские права национальных меньшинств - в частности, право на высшее образование - были ограничены.

⁶ Теорема Дирихле (1837) утверждает, что во всякой арифметической прогрессии, первый член которой взаимно прост с ее разностью, содержится бесконечно много простых чисел. Постулат Бертрана был сформулирован в 1845 г., а доказан Чебышевым в 1853 г. Он состоит в том, что для любого натурального n между n и 2n обязательно найдется простое число.

⁷ Размер наиболее известной математической премии - филдсовской (ее часто, хотя без серьезных оснований, называют "Нобелевской премией для математиков") - составляет 10 000 канадских долларов. А размер премии Вольфа - 100 000 американских долларов, правда, их, как правило, делят между двумя лауреатами. Эрдёшу премия Вольфа была присуждена в 1984 г., его солауреатом был крупнейший современный геометр Черн. Нелишним будет упомянуть о том, что из причитавшихся ему $50 000 Эрдёш взял только 720 на очередной авиабилет, а остальное роздал различным фондам, поддерживающим начинающих математиков; в частности, именно из этих денег финансируется стипендия памяти Анны Эрдёш в Технионе (израильском техническом университете в г.Хайфа).

⁸ Для более искушенного читателя поясню, что имею в виду следующее удивительное свойство: число различных простых множителей взятого наугад натурального числа n распределено по нормальному закону с математическим ожиданием ln(ln(n)) и среднеквадратичным отклонением

см. [4]. Этот факт был высказан в качестве смелой гипотезы в одном докладе знаменитого стохастика Каца; присутствовавший на докладе Эрдёш доказал гипотезу раньше, чем Кац окончил выступление.

⁹ Снова замечание для более опытных читателей: имеется в виду знаменитая нижняя граница Разборова.

¹⁰ Элементарная по используемым объектам и необычайно глубокая и богатая по своим достижениям и связям с другими областями математики, теория Рамсея, безусловно, заслуживает подробного обсуждения на страницах "МИФ"а; пока же ограничусь ссылкой на статью [1] в журнале "Квант", в которой, в частности, описывается самый первый рамсеевский результат Эрдёша - доказанная еще в 30-х гг. теорема Эрдёша-Секереша (см. [6]).

¹¹ Теорема Ван-дер-Вардена уже обсуждалась на страницах нашего журнала, см. [2].