Задача 5.8.

Система состоит из N частиц одного сорта; E, V, T и m обозначают соответственно внутреннюю энергию, абсолютную температуру, объем и химический потенциал на одну частицу. Докажите следующие соотношения:

Решение.

В задаче а) надо, конечно, воспользоваться свободной энергией, ибо именно дифференциал свободной энергии определялся формулой (6) через дифференциалы N, T и V. Из этой формулы следуют соотношения

(18)

Продифференцируем теперь выражение (1) для F по N и воспользуемся соотношением (18) для m:

что и требовалось доказать.

б) Очевидно,

поэтому

Теперь используем "минус единицу", т.е. формулу (задача 1.3 ):

(19)

Значит

Но если учесть результат задачи а), то мы и получим

в) Для получения искомого соотношения в функции E(T,V,N) будем в свою очередь рассматривать N как функцию T, V, m:

Тогда, очевидно,

Теперь воспользуемся результатом б) и получим искомое: