|
Задача 5.5.
На рис.2 приведены экспериментальные данные для
температурной зависимости натяжения для определенным образом вулканизированной
резиновой ленты, длина которой поддерживается постоянной. Пусть l0
- естественная нормальная длина ленты при температуре T0,
а l - ее действительная длина. Полное натяжение (равное натяжению,
умноженному на поперечное сечение) связано с l, как указывают эти
данные, соотношением
|
|
Рис.2: Зависимость натяжения ленты от температуры при фиксированной
длине
|
|
 З
здесь A - постоянная, a - коэффициент теплового расширения, равный примерно 7·10-4град-1.
Вычислите изменение температуры DT в случае, когда резиновая лента, находящаяся при температуре T0,
быстро адиабатически растягивается от ее естественной длины l0
до длины в L раз большей (этот эффект называется эффектом Джоуля).
Считайте, что DT << T0. Представьте графически зависимость
DT от L.
|
Решение.
Точно задача решается определением энтропии ленты S=S(T,l).
Тогда из равенства (выражающего адиабатичность) S(T0,l0)=S(T0,L l0)
можно найти T=f(T0,l0,L)
и DT=T-T0. Но, не зная калорического уравнения
состояния ленты, мы можем вычислить S с точностью до некоторой неопределенной
функции только от температуры. Изменение температуры можно найти и как
 |
(13) |
Однако стоящая под интегралом производная может быть найдена, конечно,
только при известной зависимости S=S(T,l). Мы
знаем (12), что в общем случае
Для нашей ленты
Здесь теплоемкость Cl является функцией от l
и T, и мы, опять-таки не имея калорического уравнения состояния, не
можем эту функцию найти. Кроме того, нам не известна определяемая адиабатичностью
процесса связь между l и T. Поэтому остается найти DT в естественном предположении, что DT << T0. Тогда мы в (13)
можем использовать под интегралом
просто сводя зависимость T(l) к постоянной T0.
В этом случае мы получаем
Теплоемкость Cl мы при этом вычислении рассматривали
как величину, от l не зависящую.
Знак DT определяется знаком фигурной скобки (Lі1). При L® +1 скобка стремится к -2aT0<0. При достаточно больших L она, конечно,
станет положительной. Таким образом, эффект Джоуля может менять знак. Критическое
значение L, очевидно, есть
Легко найти, что при T0=300 K
Lc=1.134. Конечно, при L=1 DT=0. Поэтому качественно зависимость DT от L имеет вид, показанный ниже на рис.3.
Рис.3: Изменение температуры ленты как функция ее удлинения