Задача 4.10.

Рассмотрите все возможные процессы, с помощью которых тело с теплоемкостью C может охладиться путем отдачи тепла от температуры T₁ до температуры T₀  ( < T₁) теплового резервуара. Как добиться того, чтобы работа, совершаемая при этом процессе, была максимальной? Какова эта максимальная величина? Для простоты считайте C константой.

Решение.

Можно просто привести наше тело с температурой T₁ в тепловой контакт с резервуаром с температурой и подождать, пока свободное тело не остынет до температуры T₀. Очевидно, при этом тело не совершит никакой работы. Процесс теплообмена при конечном перепаде температур необратим, неравновесен. При любом равновесном процессе охлаждения, как это следует из 2-го начала для неравновесных процессов, будет совершена наибольшая работа. Как известно, отнимаемую у горячего тела теплоту можно превращать в работу с наибольшим кпд в ходе цикла Карно. Таким образом, мы должны использовать наше тело (рис. 1,а) как нагреватель рабочего тела, которое будет превращать полученную теплоту в работу (с использованием резервуара с температурой T₀ как холодильника). В цикле Карно температура идеального нагревателя, по предположению, остается постоянной. Нам же надо, чтобы наше тело остывало. Поэтому следует рассматривать последовательность циклов Карно (рис. 1,б), в ходе которых температура охлаждаемого тела меняется на малое dT   ( << T).

Рис.1: Принципиальная схема тепловой машины (а);
последовательность циклов Карно (б)

Для отдельного цикла, совершенного рабочим телом, справедливо уравнение Клаузиуса:

Отсюда

ибо dQ = -C dT, и работа за цикл

Значит

(14)

Бесконечно много циклов с бесконечно малым dT (и C dT) дадут конечное отнятое тепло, и при этом каждый отдельный цикл будет циклом с бесконечно мало изменившейся температурой нагревателя.