Задача 3.3.

Один моль идеального газа с начальным давлением p1 и объемом V1 свободно (и адиабатически) расширяется до объема V2. Затем он квазистатически сжимается до объема V1 при постоянном давлении p1. Наконец, газ квазистатически нагревается при постоянном объеме V1 до тех пор, пока его давление не станет равным p1. Такой цикл, изображенный ниже на рис.3, называется циклом Майера.

 

Рис.3. Цикл Майера

Докажите с помощью этого цикла соотношение Майера Cp-CV = R.
Молярную теплоемкость следует считать постоянной.

Решение.

При свободном адиабатическом расширении

W1 ® 2 = 0   ,      Q1 ® 2 = 0   .

Значит на этом этапе цикла внутренняя энергия не меняется и

T1 = T2.

На этапе 2 ® 3

W2 ® 3 = p2 (V3-V2) = p2 (V1-V2)   ,
Q2 ® 3 = Cp (T3-T2) = Cp (T3-T1)   .

Наконец,

Q3 ® 1 = CV (T1-T3)   ,         W3 ® 1 = 0   .

За цикл

Q = W   ,

что в нашей задаче сводится к

Cp (T3-T1)+CV (T1-T3) = p2 (V1-V2) (7)

Но

p2 V1 = p3 V3 = R T3   ,        p2 V2 = R T2 = R T1   .

Поэтому (7) можно записать в виде

(Cp-CV)(T3-T1) = R (T3-T1)   ,

или

Cp-CV = R   .