Задача 3.1

Задача 3.1.

Рассмотреть политропные процессы идеального газа, проходящие через точку P pV-плоскости. Определить области, в которых политропные процессы происходят при положительной теплоемкости, и области, в которых политропные процессы происходят при отрицательной теплоемкости.

Рис.1: Изотерма и адиабата идеального газа

Решение.

Получим дифференциальное уравнение политропы. Для газа dW = p dV и 1-е начало имеет вид:

(1)

Используя выражение для теплоемкости при постоянном объеме

запишем дифференциал внутренней энергии в виде:

Подставив это выражение в (1), для теплоемкости при постоянном давлении получим

Следовательно,

Для политропного процесса C = const и dQ = C dT, и дифференциальное уравнение политропы в переменных T и V имеет вид

(2)

В переменных p и V :

и уравнение (2) имеет вид

(3)

где n =(C_p-C)/( C_V-C) - показатель политропы.

Для одного моля идеального газа pV = RT, и уравнение (3)

имеет решение pVⁿ = const.

Теплоемкость политропного процесса C связана с n выражением

где g = C_p/C_V - показатель адиабаты (для адиабаты C = 0 и n = g), и C_V > 0 (условие устойчивости термодинамического состояния).

Неравенство C > 0 имеет решения

-Ґ < n < 1 и g < n < Ґ ,

C < 0 соответствует значениям n в интервале:

1 < n < g.

Таким образом, на pV-плоскости область политроп, проходящих через точку P и соответствующих процессам с отрицательной теплоемкостью, лежит внутри угла, образованного изотермой (для изотермы C=Ґ и n=1) и адиабатой, проходящими через ту же точку (рис.1). Действительно, на адиабате к газу тепло не подводится и C=0, а на изотерме подводимое количество тепла полностью расходуется на работу, производимую газом (поскольку для идеального газа E=E(T), при T=const имеем dE=0 и dQ=dW). Для промежуточных политроп при расширении газа 0<dQ<dW и dE=dQ- dW=C_VdT<0, т.е. dT<0 и C=dQ/dT<0.