Задача 2.2.

Найдите выражение для работы, совершаемой над внешней средой магнитным диэлектриком при его поляризации и намагничивании.

Решение.

Пусть однородный магнитный диэлектрик теплоизолирован и сохраняет неизменным свой объем V. Его термодинамическое состояние определяется также векторами поляризации P и намагниченности M. Эти вектора, как известно из электродинамики, определяются через электрический (дипольный)

(3)

и магнитный

(4)

моменты системы зарядов q_i (i - номер заряда), состояние движения которых задается радиус-векторами r_i и скоростями v_i. Буквой c обозначена скорость света (мы используем гауссову систему единиц физических величин). Именно поляризация и намагниченность представляют собой соответственно электрический и магнитный моменты единицы объема диэлектрика. При рассмотрении сплошной среды формулы (3) и (4) заменяются определениями

(5)

где r(r) и j(r) являются соответственно плотностями связанного заряда и соответствующего ему молекулярного тока, а r(r) r и 1/(2c)[r,j(r)] - поляризацией P и намагниченностью M:

(6)

Эти величины, в пренебрежении пространственной и временной дисперсией, связаны локально и синхронно с величинами, характеризующими электромагнитное поле, напряженностью электрического поля E и индукцией B, соотношениями:

(7)

Векторы E и B в свою очередь, как известно, определяются выражениями для силы Лоренца, действующей на находящийся в поле заряд q, двигающийся со скоростью v:

(8)

Векторы же индукции электрического поля D и напряженности магнитного поля H определяются самими соотношениями (7).

Уравнения Максвелла накладывают следующие связи на только что упомянутые величины:

(9)

Здесь r₀ и j₀ есть заданные, внешние по отношению к нашему магнитному диэлектрику (сторонние) плотности заряда и тока, т.е. они и представляют в наших рассуждениях внешнюю среду. Именно силовое воздействие диэлектрика (через поле) на эти заряды и определяет производимую им работу.

Как известно, работа определяется скалярным произведением "сила x путь". Если v₀ есть поле скоростей сторонних зарядов, то работа поля по изменению их конфигурации за бесконечно малое время dt есть

(10)

Интеграл можно считать берущимся по всему пространству. Области, где нет сторонних зарядов и (или) полей, автоматически не дадут в него вклада. Подставив теперь в (10) выражение для силы Лоренца, действующей на заряд r₀ dV, и получим

(11)

так как v₀·[v₀,B] = 0. Теперь наша задача состоит в выражении dW через изменение поляризации и намагниченности. С этой целью найдем из (9) выражение для j₀:

(12)

и подставим его в (11):

(13)

Заметим, что

(14)

Здесь e_ijk - символ Леви-Чивитта, и, как обычно, по дважды встречающимся декартовым индексам подразумевается суммирование. Выразив E · rot H из (14), получим:

(15)

Объемный интеграл от дивергенции векторного поля может быть, как известно, заменен на поток этого вектора через поверхность, охватывающую объем:

(16)

Это слагаемое есть поток энергии электромагнитных волн. Для стационарных полей, если размеры пространственной области, занятой диэлектриком и сторонними зарядами, конечны, то E,H ~ r^-2, а S ~ r², и при S®Ґ

(17)

Наконец, используем в (15) для rotE выражение, следующее из (9). Тогда мы получим

(18)

или

(19)

Для того чтобы в dW появились dP и dM, используем соотношения (7):

(20)

Первый интеграл из (20), равный

представляет собой, очевидно, работу по изменению электромагнитного поля в вакууме (когда H = B). Поэтому естественно как собственно работу поляризации и намагничивания рассматривать второй из входящих в (20) интегралов

(21)

тот интеграл можно считать берущимся по объему диэлектрика - ведь dM и dP есть приращения намагниченности и поляризации в объеме dV, а они отличны от нуля только там, где есть чему намагничиваться и поляризоваться.

Если поля однородны и диэлектрик изотропен, то

(22)

Далее мы часто будем использовать выражение для работы намагничивания единицы объема

(23)

Заметим еще, что если при поляризации и намагничивании значения E и H удерживаются неизменными (т.е. P и M меняются за счет изменения каких-то других причин), то, очевидным образом, dW сводится к dW_собств. Значит, найденное нами выражение для работы (21) можно интерпретировать как работу по изменению поляризации и намагниченности в постоянном поле (при постоянных E и H).

Постоянство H обеспечивает проведение эксперимента в длинном соленоиде, в обмотке которого поддерживается постоянный ток. Действительно, такой ток есть типичный пример стороннего тока, который в ситуации термодинамического равновесия (то есть в стационарной ситуации) полностью, как это следует из (9), определяет именно H. Аналогично, постоянство E обеспечивает постановка опыта внутри конденсатора, между пластинами которого поддерживается фиксированная разность потенциалов.

Полученное нами выражение для элементарной работы применимо и к проводникам - надо только учесть, что в проводнике, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, электрическое поле отсутствует, и поэтому для проводника всегда dW_собств из (22) сводится к -V H dM, то есть к работе намагничивания.

Подробнее познакомиться с этими и другими обсуждавшимися при решении задачи 2.2 вопросами можно с помощью "Электродинамики сплошных сред" Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица (М., 1982. Т.8, § 10, 11, 31, 32) и "Статистической термодинамики" Ч.Киттеля (М., 1977).