Решение.

Пусть рассматриваемая система ограничена поверхностью S (рис.2.1). Выделим на ней элементарную площадку dS, содержащую точку поверхности P. Пусть сила, с которой площадка действует на окружающую систему, равна sdS. Таким образом, s есть, по определению, сила, действующая через единичную площадку. Эта величина называется напряжением. Пусть в процессе деформации точка P переместилась в положение Pў, вектор ее бесконечно малого перемещения u определяет и перемещение всей площади: dS в положение dSў. Понимая работу как произведение "сила×путь", мы для работы деформации всей нашей системы dW можем записать:

Интеграл в (1) берется по поверхности S. Пусть теперь наша система находится в условиях равномерного всестороннего сжатия, т.е., в любой точке поверхности на нашу систему действует одна и та же по величине сила, направленная по нормали к поверхности и сжимающая ее. Очевидно, напряжение s в этом случае можно записать как

где n есть внешняя нормаль к поверхности, а величина p равна развиваемому внешней средой давлению, если имеет место механическое равновесие. Так как, по предположению, перемещение du(P) мало для любой точки P, то можно считать давление p неизменным в ходе рассматриваемой малой деформации. Кроме того, значение p одинаково по всей поверхности, и мы можем вынести в (1) значение p из под знака интеграла:

(2)

Ясно, что подынтегральное выражение в (2) геометрически есть объем цилиндрика с торцевыми площадками dS и dSў и образующей du. Интеграл же дает нам полное изменение объема dV при деформации системы. Таким образом, мы получаем для элементарной работы деформации в предложенных условиях выражение

О работе деформации в общем случае можно прочитать, например, в "Теории упругости" Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица (М., 1987. Т.7, §3).