Задача 1.3.

Докажите, что если каждая из трех переменных x, y и z является дифференцируемой функцией двух других, рассматриваемых как независимые, то

(10)
и
(11)
Решение.

Условия задачи, как известно из математического анализа, эквивалентны утверждению о существовании связи

(12)

где f является дифференцируемой функцией своих аргументов с отличными от нуля частными производными (f/x)y,z, (f/y)x,z, (f/z)x,y. Продифференцируем соотношение (12):

(13)

Пусть в ходе какого-либо процесса x остается постоянным. Тогда (13) превратится в

откуда для отношения dy/dz в ходе этого процесса, т.е. для (y/z)x, находим:

(14a)

Совершенно аналогично получаем, что

(14b)
(14c)

Перемножив равенства (14a), (14b), (14c), убеждаемся в справедливости (10). Взаимозаменив в (14c) x и z, получаем

 

Сравнивая два последних соотношения, приходим к выводу о справедливости (11), известному как теорема о производной обратной функции.