Задача 1.2.

Покажите, что пфаффова форма

не имеет интегрирующего множителя (здесь k - постоянная величина, отличная от нуля).

Воспользуемся математическим фактом, обобщающим теоремы, использованные в решении задачи 1.1: для полноты и точности дифференциального выражения

необходимо и достаточно выполнение условий:

	(9a)
	(9b)
	(9c)

Здесь предполагается, что функции X(x,y,z), Y(x,y,z) и Z(x,y,z) определены и непрерывны вместе со своими производными, входящими в соотношения (9), в некоторой трехмерной поверхностно односвязной области. Определение полноты dP снова заключается в независимости интеграла т_G dP от конкретного выбора кусочно-гладкого контура G, если G лежит в только что упомянутой области, определение точности - в тождественном совпадении dP с дифференциалом некоторой функции F(x,y,z). Заметим, что если понимать X, Y и Z как компоненты некоторого вектора R, то условия (9) можно записать одним соотношением

Вернемся к нашей конкретной задаче. Предположим, что пфаффова форма (8) имеет интегрирующий множитель, т.е. можно записать равенство:

из которого следует, что

	(10a)
	(10b)
	(10c)

Для полного дифференциала dF условие (9a) сводится к независимости результата дифференцирования F по x и y от порядка дифференцирования:

Продифференцируем теперь (10a) по y, (10b) по x и приравняем правые части получающихся при этом соотношений:

(9A)

Используя аналогично (9b) и (9c), получаем:

	(9B)
	(9C)

Подставим (9B) и (9C) в (9A):

Отсюда следует, что

и мы тем самым доказали, что dP из (8) не имеет (отличного от нуля) интегрирующего множителя.

Иногда пфаффовы формы, имеющие интегрирующий множитель, называют голономными, не имеющие - неголономными. Можно показать, что (теорема Коши) пфаффова форма двух переменных всегда голономна. Для большего числа переменных это утверждение неверно - как мы установили, форма -y dx + x dy + k dz неголономная. Отметим также, что любая голономная пфаффова форма имеет бесконечно много интегрирующих множителей.