Задача 1.1.

Проинтегрируйте (имеется в виду криволинейный интеграл 2-го рода) формы du = dx + dy   и dv = x dx + x dy   по двум показанным на рис.1 путям (I) и (II) на плоскости (x,y), идущим из точки P(x1,y1) в точку Q(x2,y2); здесь x1 № x2 и y1 № y2. Эти пути есть

(I) прямые P(x1,y1)® R(x2,y1) ® Q(x2,y2),

(II) прямые P(x1,y1)® S(x1,y2) ® Q(x2,y2).

 

Рис.1: Пути (I) и (II) интегрирования пфаффовых форм du и dv

Покажите, что

(1)

где u = x+y, и что

(2)
Решение.

Криволинейный интеграл 2-го рода в n-мерном пространстве определяется для некоторого пути  G  и векторного поля X(x1,x2,... xn) как

(3)

т.е. его подынтегральное выражение представляет собой пфаффовуформу, в которой дифференциалы dxi представляют собой проекции элемента dl кривой G на выбранный в пространстве переменных (x1,x2,... xn) базис.

Очевидно, на отрезке PR форма du сводится к du = dx, а на отрезке RQ - к du = dy. Поэтому

(4)

Аналогично dv на отрезке PR превращается в dv = x dx, а на отрезке RQ - в dv = x dy. Отсюда

(5)

Для пути (II) также легко находим, что

(6)

Сравнивая (4) и (6), убеждаемся в справедливости (1), а (5) и (6) подтверждают неравенство (2).

Таким образом, мы показали, что интеграл тG dv зависит от выбора пути интегрирования G и, следовательно, для dv не существует функции v(x,y), через значения которой в конце и начале контура G можно представить искомый интеграл. Пфаффовы формы такого рода называют неполными дифференциалами, в отличие от полных дифференциалов, для которых результат интегрирования по кривой, соединяющей две точки, не зависит от конкретного выбора этой кривой. Результаты интегрирования du позволяют думать, что эта форма является полным дифференциалом. То, что это действительно так, следует из известного утверждения математического анализа: для того, чтобы интеграл

не зависел от формы кривой G, необходимо и достаточно выполнения условия

(6)

Здесь предполагается, что функции X(x,y) и Y(x,y) определены и непрерывны вместе со своими производными X/y и Y/x на плоскости (x,y) в некоторой односвязной области, в которой лежит кусочно-гладкий контур G. Легко видеть, что для du условие (6) сводится к тождеству 0 = 0 (для dv: X/y = 0, Y/x = 1).

Напомним еще одну теорему: при только что перечисленных предположениях выполнение условия (6) необходимо и достаточно для того, чтобы пфаффова форма

(7)

была точным дифференциалом некоторой функции F(x,y), т.е. чтобы имело место тождество

где

Значит, точность и полнота дифференциального выражения (7) взаимно обусловливают друг друга.

Теперь отметим очевидную связь между du и dv:

Таким образом, умножение на множитель 1/x неполного дифференциала dv превращает его в полный дифференциал du. В общем случае в соотношении

где dF и dP являются соответственно полным и неполным дифференциалом, функцию m(x1,x2,... xn) называют интегрирующим множителем. Конечно, интегрирующий множитель, тождественно равный нулю, нас не интересует.